1157 . 6.線性系統求解
由於在科學或經濟上所包含的資料都相當多，有很多數學模式都是線性的，所以線性系統求解可以說是相當重要。有關線性系統的解法可以應用高斯消去法(Gauss-Jordan Elimination) 來求解。
假設我們有以下的線性方程組：
$\displaystyle \begin{array}{lclclcl} a_{11}x_1 & + & a_{12}x_2 & + & a_{13}x_3 & = & c_1 \ a_{21}x_1 & + & a_{22}x_2 & + & a_{23}x_3 & = & c_2 \ a_{31}x_1 & + & a_{32}x_2 & + & a_{33}x_3 & = & c_3 \end{array} $
<!--
-->
可以用消去法來求解：
步驟一：
步驟二：
接著再對第二行做步驟一，以此類推。
舉例來說，我們現在來解一個方程組：
這個方程組可以表示成：
解此方程組的步驟如下：
步驟一：
步驟二：
步驟三：
步驟四：
步驟五：
步驟六：
步驟七：
1 0 0 11
0 1 0 -4
0 0 1 3
最後可得解為：
我們接下來討論下面這個方程組：
步驟一：
步驟二：
最後可得解為：
無限多組解。
然而在計算的過程中，因為可能使用浮點數的關係，會導致進位誤差以及計算誤差；或者是在不同的計算順序下，也可能會有誤差的產生。如果我們使用分數來表示數字就可以預防浮點數的誤差。我們可以用1/3來表示一個數字，取代原本的0.333333（有遺失精確度的問題）。這麼一來，就可以解決上面所提的錯誤的問題了。
現在請設計一個程式，可以幫我們求解線性系統。注意方程組可能有一組解、無解、或無限多組解。
為方便輸入，方程組的變數均省略。第一行是整數n(0<n<50)代表方程組中有n個變數。
接下來會有m行(1≤m≤n)，每一行代表一個方程式，若有n個變數，則一行會有n+1個值（例：2 8 4 2代表2x1 + 8x2 + 4x3 = 2），每兩個值之間會有一個或多個空白隔開。方程式中的數字都是整數。
第一行為0或1或N分別表示無解、1組解、及無限多組解。若為1組解或無限多組解，請再輸出N行代表一組解，每一行代表一個變數，變數編號從x1, x2, 到 xn(無限多組解時，請只要輸出N即可)。
如果某些變數的解不是整數，請用最簡分數來表示那些解。你可以假設所有數字的分子與分母在運算過程中都不會超過32-bit integer的範圍（但要適時地約分）。如果數字為負的分數p/q，其中p或q其中一個數字為負數，請將分母修正成正數，分子修正成負數。例：-1/3是一個合法的表示法，1/-3則不是。 （輸出解答時，只需在等號前面後面各加一個空白，其他地方不用）
※無限多組解時，只要輸出"N"就好，請不必輸出任一組解～
原TIOJ1157 / 93全國賽(prob 6)。
| No. | Testdata Range | Score |
|---|---|---|
| 1 | 0 | 20 |
| 2 | 1 | 20 |
| 3 | 2 | 20 |
| 4 | 3 | 20 |
| 5 | 4 | 20 |
